Fórmula de Bhaskara – o que é e como usar Fórmula de Bhaskara – o que é e como usar

Fórmula de Bhaskara – o que é e como usar

O mundo da matemática pode ser confuso para muitas pessoas, mas o uso dela no nosso dia a dia é inevitável, seja qual for a situação. Entender as principais fórmulas e como aplica-las na nossa vida é fundamental, mas, é ainda mais necessário compreendê-las quando se é um estudante se preparando para um vestibular ou até mesmo para o Exame Nacional do Ensino Médio (Enem).

Todo mundo conhece, ou pelo menos já ouviu falar, da famosa fórmula de Bhaskara (leia-se báscara). Com um nome um tanto quanto diferente – em homenagem ao matemático indiano Bhaskara Acharya, a fórmula foi criada com o objetivo de encontrar a solução e também as raízes de uma equação de 2º grau, ou equação quadrática. Pode parecer que não, mas essa é uma conta muito usada no nosso cotidiano, por isso, entender como ela é aplicada é muito importante para estudantes e profissionais de qualquer segmento do mercado.

Ainda está confuso sobre qual é e como utilizar a fórmula de Bhaskara? Aqui vamos te ajudar a entender melhor sobre ela. Continue a leitura!

Função do segundo grau

A função de segundo grau pode ser denominada também como equação quadrática ou polinomial, e é aplicada quando a equação conta com uma variável de expoente 2, ou seja, quando em uma sentença matemática, o número que indica o grau da potência a que uma quantidade é elevada é de grau dois.

De maneira geral, a função do segundo grau é qualquer sentença matemática que pode se reduzir a seguinte fórmula:

Formula De Bhaskara Funcao Do Segundo Grau

Nessa fórmula, é preciso se atentar a alguns pontos importantes. O primeiro é que a função do “a” é sempre ser o coeficiente quadrático, ou o número real elevado a dois, e, por esse motivo, nunca deve ser caracterizado com o número 0. O segundo ponto é que, assim como o “a”, “b” e “c” também são números reais.

A representação de uma equação de segundo grau acontece através de uma parábola que, dependendo do valor real do coeficiente, terá uma concavidade direcionada para cima ou para baixo. Se você tem dificuldade em matemática e nesses formatos, vamos te explicar mais sobre uma parábola logo a frente, siga com a leitura.

Para que serve uma equação?

A equação de segundo grau é utilizada para encontrar valores reais de “X”, ou incógnita, em uma sentença matemática. A incógnita, que sempre é um número desconhecido, pode ser denominado como raízes da equação, e é a partir dos coeficientes que ela poderá ser desvendada.

Como surgiu a função quadrática?

A função quadrática, ou de segundo grau, nasceu por volta dos anos 300 a.C, com a criação da técnica de Álgebra Geométrica, pelo grego Euclides.

O intuito na época era explicar movimentos de queda livre de um corpo ou o trajeto de uma bola de canhão, que depois de diversas tentativas de especialistas, foi possível encontrar tais respostas através de uma parábola associada à curva de 2º grau. 

Classificações das Equações de Segundo Grau

Como falamos um pouco acima, em uma equação de segundo grau, os coeficientes são compostos por números reais e, em algumas situações, podem ser representadas por 0. Com isso, temos as classificações de equação de 2º grau “completo” e “incompleto” que são caracterizadas da seguinte forma:

Completas

Uma equação de segundo grau completa é quando todos os coeficientes, ou seja, as letras “a”, “b” e “c” são diferentes (≠) de 0.

Incompletas

Uma equação de segundo grau incompleta é quando “b” ou “c” – ou ambos – são representados pelo número 0.

Exemplos de Equações de Segundo Grau

Como vimos, uma equação de 2º grau é necessária para encontrar o valor de “X”. Considerando a incógnita, precisamos identificar os coeficientes, considerando que “a” é o número elevado a dois (x²), “b” é o número que multiplica o “X” e “c” é o número fixo que não multiplica o “X”.  Para entender na prática, vamos te dar alguns exemplos para desenvolver a equação certa.

Equação de segundo grau completa:

Formula De Bhaskara Funcao Do Segundo Grau Completa

Na equação acima, identificamos os coeficientes como: a = 2, b = – 5 e c = 6. Ela é considerada uma equação completa.

Equação de segundo grau incompleta:

Formula De Bhaskara Funcao Do Segundo Grau Incompleta

Nessa situação, entendemos os coeficientes como: a = 2, b = 0 e c= – 5. Quando se deparar com equações desse gênero, saiba que são consideradas incompletas.

Para solucionar qualquer uma dessas questões e encontrar o valor real da incógnita, precisamos aplicar a fórmula de Bhaskara.

Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara exige que, antes de seu desenvolvimento, seja identificado os coeficientes da equação de 2º grau. Após isso, são realizadas todas as operações matemáticas para obter as raízes da expressão numérica.

Como surgiu a fórmula de Bhaskara?

Estabelecida na década de 60 no Brasil, a fórmula leva o nome de um grande matemático, professor, astrólogo e astrônomo indiano, Bhaskara Acharya (ou Bhaskara Akaria), pois sua atuação no setor foi uma das mais consideráveis do século XII.

No entanto, apesar de levar seu nome, a fórmula não foi invenção do indiano, uma vez que a equação já aparecia há mais de quatro mil anos em textos escritos por babilônios. A homenagem, porém, acontece apenas no Brasil. Em livros matemáticos do exterior, por exemplo, não se encontra a fórmula denominada Bhaskara. É possível identificar a mesma sentença como “Método Viète”, que foi um grande matemático francês, ou mesmo como equação quadrática ou de 2º grau.

Como deduzir a fórmula de Bhaskara?

A seguir, você pode ver qual a fórmula de Bhaskara e como ela deve estar estruturada:

Formula De Bhaskara

Entendendo a equação de Bhaskara

De cara, pode parecer complicado. Mas saiba que a fórmula pode ser resolvida em duas etapas diferentes.

 Discriminante da Equação

O primeiro passo é encontrar o discriminante, ou “D”, da equação. Ela é caracterizada pela soma da expressão presente dentro da raiz quadrada da fórmula, ou seja, pela sentença b²-4.a.c.

Cálculo das raízes

Agora que foi solucionada a primeira parte da sentença e considerando que a raiz é o valor de “?”, é necessário fazer a substituição. Para isso, é usado a seguinte expressão:

Formula De Bhaskara Calculo Das Raizes

O que é o ∆ – Delta?

Reparou que no exemplo que demos acima surgiu uma nova figura? O Δ é chamado de delta, símbolo que, neste caso, representa o resultado da equação presente na raiz, ou seja, ele representa o resultado do valor discriminante.

Se você quer entrar na universidade ou ainda se preparar e estudar para o Enem, alguns vídeos podem te ajudar melhor a entender como aplicar a fórmula de Bhaskara. Veja um que selecionamos:


Passos da fórmula de Bhaskara

Agora que já te explicamos como cada etapa funciona, vamos colocar isso na prática com alguns exemplos. Confere só:

1: Calcular discriminante

O primeiro passo da fórmula de Bhaskara é calcular o discriminante, ou delta. Considerando o exemplo de equação de segundo grau sendo 2x² + 12x – 14 = 0, o discriminante será:

Formula De Bhaskara Calcular Discriminante

Concluímos, então, que o número discriminante é 256.

2: Substituir a discriminante e os coeficientes

Agora, é preciso identificar na fórmula onde cada número se encaixa, para, assim, seguir com o desenvolvimento da sentença. Vamos inserir o valor encontrado como discriminante, ou delta, e também os coeficientes da equação de segundo grau, assim:

Formula De Bhaskara Discriminante E Coeficientes

3: Calcular as raízes

Agora, vamos ver qual é o resultado? Você reparou que, no passo anterior, existe dois sinais para o discriminante, ou delta? Por esse motivo, teremos dois resultados para a sentença (o X1 e o X2), sempre um negativo e outro positivo.  Seguindo o exemplo, teremos:

Formula De Bhaskara Calcular Raizes

Achou difícil de memorizar? Criamos um mapa mental que pode te ajudar melhor. Confira:

Bhaskara mapa menta

Para que serve a fórmula de Bhaskara no dia a dia?

Depois de toda essa explicação, você deve se questionar para que serve essa fórmula no cotidiano, não é? Com toda certeza, se você está em época de provas escolares, vai prestar vestibular ou ainda precisa se preparar para o Enem, e está investindo tempo para se dedicar aos estudos, se deparar com fórmulas como essa é comum.

Mas não são só os estudantes que visitam a fórmula de Bhaskara ou utilizam no dia a dia. São diversos profissionais de setores distintos que, mesmo sem perceber, acabam aplicando tal sentença para a resolução de questões.

Aplicações

Na prática, muitos profissionais do setor de engenharia, por exemplo, colocam a sentença com muita frequência em todos os seus trabalhos. A fórmula de Bhaskara é a fiel escudeira para que os projetos sejam entregues com as proporções adequadas e seguras.

Mas, engana-se quem acredita que só são áreas relacionadas à engenharia que utilizam a fórmula. São diversas as formas de aplicação no dia a dia e, ainda, se não fosse por ela, muitas coisas do cotidiano sequer existiriam. Veja alguns exemplos logo abaixo:

Área

Um dos melhores exemplos sobre o uso da fórmula Bhaskara é quando precisamos determinar uma área de construção ou até mesmo reforma da casa. Vamos pensar na seguinte situação: imagine que tenha que fazer uma nova calçada em frente da sua casa e você tem 50m² de lajotas para isso. A largura da calçada é de 8 metros, mas qual é a metragem entre o portão e a rua? Será que a quantidade de lajotas é o suficiente? Não sabe? Basta colocar todas essas informações aplicadas na fórmula de Bhaskara que você terá a sua resposta, com a área exata de cobertura que sua lajota terá com os 8 metros em questão.

Parábolas

Esse nome já é conhecido nesse artigo, mas ainda não explicamos o que, de fato, é uma parábola, não é?!  Parábola é o nome que se dá para o gráfico definido através de uma equação de 2º grau. Sua estrutura é determinada de acordo com o coeficiente da equação, mas ela sempre possuirá uma concavidade, ou seja, será em formato de “U”.

Equações diferenciais

As equações diferenciadas, ou de coeficiente constante de segunda ordem, também podem ser resolvidas através da função quadrática. Se você não entendeu nada, esse tipo de equação é capaz de mostrar se as soluções crescerão, se estabelecerão ou diminuirão, ou seja, é essencial para quem está projetando estruturas, máquinas ou circuitos elétricos e deve prezar pela segurança humana, já que com um mínimo de falha estrutural as consequências podem ser gigantescas.

Trigonometria

Lembra da aula de trigonometria? Aquela que estuda os senos, cossenos, tangente, cotangente etc? Pois saiba que a Bhaskara também é fundamental para complementar esse eixo da matemática.

A fórmula ajuda a encontrar a relação entre os lados e ângulos de um triângulo, fazendo assim sua aplicação em diversas áreas de estudo, como computação gráfica, desenvolvimento de games, teoria musical, acústica e até equipamentos médicos. Sua maior importância se dá em situações ligadas às ondas sonoras e luminosas.

Aviões

Sim! A fórmula de Bhaskara está até no desenvolvimento de aviões. A ligação entre a sentença e esse meio de transporte acontece na teoria de força e aceleração descrita na lei de Newton. De modo geral, ao formular sua ideia, Newton percebeu que, além de pensar no movimento de corpos rígidos, ele poderia aplicar sua teoria também ao modo como os fluídos – como água e ar – se moviam. Dessa forma, era possível encontrar a relação entre a velocidade de fluído e sua pressão a partir de uma velocidade.

Com esse pensamento, criou-se, então, a equação de Bernouilli, um dos principais estudos para a descoberta dos princípios básicos do voo.

Astronomia

Newton também decidiu usar a fórmula em seu benefício para criar o telescópio. Com a aplicação da curvatura de uma parábola, o estudioso encontrou a solução para o bom funcionamento da lente de aumento do equipamento. Além disso, também conseguiu calcular através dela o “estilingue” feito entre os planetas pelos satélites.

Esses são só alguns exemplos de onde a fórmula de Bhaskara está aplicada. Muitos acontecem em áreas exatas de estudo, mas são milhares de possibilidades em inúmeros setores da vida, como na biologia, para determinar um ponto único – máximo ou mínimo – de um problema determinístico.

Gráfico da função do 2º grau

De maneira resumida, até aqui conseguimos entender que função são fórmulas matemáticas que associam um conjunto de números a outro. Podemos desenvolver uma função para qualquer equação e a de segundo grau é a que estamos vendo neste artigo.

Essas funções são representadas por figuras geométricas definidas pelas fórmulas matemáticas. Como também já vimos, a função de segundo grau, então, é representada pelo plano cartesiano parábola.

De modo geral, se o coeficiente “a” da sentença for maior do que zero, a parábola terá a concavidade voltada para cima. Já em equações com o coeficiente “a” menor, a parábola é apresentada com a concavidade voltada para baixo.

Sua estrutura é determinada pelo eixo ’Y”, com números imaginários, e “X”, com números reais. Para entender melhor, veja esses exemplos:

COEFICIENTE > 0

Nesta situação, a sentença possui duas raízes reais, por esse motivo, a parábola cruza o eixo em dois pontos diferentes, como no exemplo:

Formula De Bhaskara Grafico Funcao Segundo Grau Coeficiente1

COEFICIENTE = 0

Com o coeficiente sendo igual a 0, a sentença possui apenas uma raiz real, fazendo a parábola cruzar o eixo em um ponto:

Formula De Bhaskara Grafico Funcao Segundo Grau Coeficiente2

COEFICIENTE < 0

Coeficiente menor do que zero faz com que a equação não possua raiz real, por isso, a função não cruza o eixo “X”:

Formula De Bhaskara Grafico Funcao Segundo Grau Coeficiente3

Vale destacar que o vértice da parábola, ou o ponto de encontro da concavidade, é muito importante, pois indica o valor máximo e mínimo. Esses pontos são determinados a partir do coeficiente “a” da sentença, que, por sua vez, também variam se for maior ou menor que zero. Veja os exemplos a seguir:

COEFICIENTE > 0

A parábola atinge o valor máximo:

Formula De Bhaskara Grafico Funcao Segundo Grau Coeficiente4

COEFICIENTE < 0

A parábola atinge o valor mínimo:

Formula De Bhaskara Grafico Funcao Segundo Grau Coeficiente5

Passos para construir um gráfico de função do segundo grau

Para que você crie o gráfico da função de segundo grau, confira nosso passo a passo e, lembre-se, a forma para ela será sempre y = ax² + bx + c:

Avalie a função

Alguns indicadores são fundamentais para que a função de 2º grau tome seu caminho certo.

  • A primeira é a determinação do coeficiente “a”, ou seja, identificar se o número real é menor ou maior que 0. Com isso em mãos, você saberá se sua parábola será para cima e possuirá ponto de mínimo ou para baixo e ponto de máximo.
  • A segunda é identificar o ponto A do gráfico, que deverá ser obtido a partir do resultado do valor coeficiente “c” da sentença em questão.

Encontre as coordenadas do vértice

O vértice, ou “V”, é o ponto máximo (para coeficiente “a” < 0) ou mínimo (para coeficiente “a” > 0). Para encontrá-lo, basta substituir os valores dos coeficientes nas fórmulas:

Formula De Bhaskara Encontre Coordenadas Do Vertice

Confira os pontos aleatórios do gráfico

No plano cartesiano, indique pontos aleatórios, com valores maiores que “X” e menores que “Xv”. Isso possibilitará mais pontos antes e depois do vértice e o desenho gráfico ficará mais fácil.

Determine as raízes (se possível)

Se existirem, é importante incluir as raízes no desenho do gráfico de uma função de segundo grau. Para isso, volte e utilize a fórmula de Bhaskara para determinar o “Y”. E, lembre-se, a usar o Bhaskara depende da fórmula do discriminante, que já te ensinamos mais acima, que é:

Formula De Bhaskara Determine As Raizes

Marque os pontos no plano cartesiano e construa a parábola

O plano cartesiano é construído, necessariamente, a partir de duas retas numéricas, “X” e “Y”. Isso significa que o gráfico conta com números reais, tirados a partir da sua sentença matemática e deve formar um ângulo de 90º, dessa forma:

Formula De Bhaskara Plano Cartesiano

Exemplo

Vamos criar uma parábola utilizando o seguinte exemplo: y = 2x² – 6x.

Analisando a equação, entendemos que os coeficientes são a = 2, b = – 6 e c = 0. Dessa maneira, a parábola ficará para cima (“a” > 0) e o ponto A é 0,0.

Para calcular o vértice da sentença, devemos fazer a seguinte conta:

Formula De Bhaskara Plano Cartesiano2

Com isso, concluímos que o vértice da parábola é: V = (1,5, – 4,5).

Agora, precisamos indicar os pontos aleatórios, com valores maiores que “X” e menores que “Xv”.

Formula De Bhaskara Plano Cartesiano3

Com isso, os dois pontos são B = (1, – 4) e C = (2, – 4).

O último passo só será feito caso a função tenha raízes reais, chegando ao resultado:

Formula De Bhaskara Plano Cartesiano4

Depois de seguir todos os passos, chegamos a seis pontos para o gráfico do exemplo y = 2x² – 6x. Com isso, a parábola ficará da seguinte forma:

Formula De Bhaskara Plano Cartesiano5

Curiosidades

Ufa! Finalmente te explicamos todas as etapas para uma fórmula de Bhaskara completa e sem erros. Aplique esses métodos nos seus estudos. Também é importante estudar com o simulado, uma dica é deixar anotado a base da fórmula, para não se perder no meio do cálculo.

Além de todo o tempo dedicado para seu desenvolvimento, algumas curiosidades rodeiam a fórmula de Bhaskara. Separamos algumas bem interessantes:

Quem foi Bhaskara

Já te contamos um pouco sobre quem foi Bhaskara mais acima. Bhaskara Acharya (ou Bhaskara Akaria) foi um matemático indiano que viveu, aproximadamente, entre os anos 1.114 e 1.185 d.C. De acordo com pesquisadores, o matemático foi uma das principais peças das ciências exatas conhecidas pela humanidade.

Sua família era composta por pessoas que dedicavam seu tempo na ciência, principalmente seu pai, que estudava questões como o movimento do sol, as horas, os eclipses e os fundamentos da astronomia sob a perspectiva matemática.

Com grande vivência no mundo dos números, Bhaskara ingressou efetivamente no setor quando iniciou sua trajetória profissional no Observatório. Como estudiosos, publicou livros que relatam suas teorias e conhecimentos de diversas vertentes da matemática.

Criação da Fórmula

No Brasil, a fórmula é nomeada como Bhaskara, em homenagem ao matemático indiano e sua forte atuação com a sentença. No entanto, em outras partes do mundo a equação não é encontrada com esse nome nos livros, uma vez que pesquisadores dizem ter indícios da fórmula ter nascido, pelo menos, 100 anos antes do nascimento de Bhaskara.

Casamento da filha

Existe uma lenda no mundo da matemática que diz que o indiano Bhaskara construiu um cilindro do tempo que avisaria o momento perfeito para o casamento de sua filha. Com base em estudos astrológicos, o matemático desenvolveu cálculos para a criação do cilindro, que teria sido colocado dentro de um vaso com água, que ia enchendo com o passar do tempo. No entanto, a filha de Bhaskara derrubou uma pérola no artefato, tampando a abertura e o tornando inútil. Por esse motivo, ela nunca teria se casado.

Nome errado da fórmula

Como já comentamos, o nome “fórmula de Bhaskara” é dado apenas aqui no Brasil, por motivos incertos. Outros países do mundo contam com outras denominações para a equação. Então, se for se preparar para uma prova e quer acessar material do exterior, busque a fórmula por “Método Viète”, equação quadrática ou, ainda, de 2º grau.

Caiu no Vestibular!

A fórmula de Bhaskara é tema frequente em avaliações de escolas, universidades públicas ou privadas (como Unicamp e PUC, por exemplo) e até mesmo no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem). Por esse motivo, é fundamental tê-la na ponta da língua – ou melhor, do lápis. Para isso, invista seu tempo nos estudos em simulado do Enem ou, ainda, respondendo questões aplicadas pelas universidades em edições passadas dos vestibulares.

Para te ajudar ainda mais, nós preparamos também um compilado de questões para você inserir no seu cronograma de estudo, ou caso deseje treinar suas habilidades com a fórmula Bhaskara ?

Download dos
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